Математика случая: Вероятность и статистика – основные факты

Стандартное нормальное распределение и центральная предельная теорема

В вероятностно-статистических методах часто идет речь о нормальном распределении. Иногда его пытаются использовать для моделирования распределения исходных данных (эти попытки не всегда являются обоснованными – см. ниже). Более существенно, что многие методы обработки данных основаны на том, что расчетные величины имеют распределения, близкие к нормальному.

Пусть X₁, X₂,…, X_n, …– независимые одинаково распределенные случайные величины с математическими ожиданиями M(X_i) = m и дисперсиями D(X_i) = , i = 1, 2,…, n,… Как следует из результатов предыдущей главы,

Рассмотрим приведенную случайную величину U_n для суммы , а именно,

Как следует из формул (7), M(U_n) = 0, D(U_n) = 1.

Центральная предельная теорема (для одинаково распределенных слагаемых). Пусть X₁, X₂,…, X_n, …– независимые одинаково распределенные случайные величины с математическими ожиданиями M(X_i) = m и дисперсиями D(X_i) = , i = 1, 2,…, n,… Тогда для любого х существует предел

где Ф(х) – функция стандартного нормального распределения.

Подробнее о функции Ф(х) – ниже (читается «фи от икс», поскольку Ф – греческая прописная буква «фи»).

Центральная предельная теорема (ЦПТ) носит свое название по той причине, что она является центральным, наиболее часто применяющимся математическим результатом теории вероятностей и математической статистики. История ЦПТ занимает около 200 лет – с 1730 г., когда английский математик А.Муавр (1667-1754) опубликовал первый результат, относящийся к ЦПТ (см. ниже о теореме Муавра-Лапласа), до двадцатых – тридцатых годов ХХ в., когда финн Дж.У. Линдеберг, француз Поль Леви (1886-1971), югослав В. Феллер (1906-1970), русский А.Я. Хинчин (1894-1959) и другие ученые получили необходимые и достаточные условия справедливости классической центральной предельной теоремы.

Развитие рассматриваемой тематики на этом отнюдь не прекратилось – изучали случайные величины, не имеющие дисперсии, т.е. те, для которых

(академик Б.В.Гнеденко и др.), ситуацию, когда суммируются случайные величины (точнее, случайные элементы) более сложной природы, чем числа (академики Ю.В.Прохоров, А.А.Боровков и их соратники), и т.д.

Функция распределения Ф(х) задается равенством

,

где  - плотность стандартного нормального распределения, имеющая довольно сложное выражение:

.

Здесь =3,1415925… - известное в геометрии число, равное отношению длины окружности к диаметру, e = 2,718281828… - основание натуральных логарифмов (для запоминания этого числа обратите внимание, что 1828 – год рождения писателя Л.Н.Толстого). Как известно из математического анализа,

При обработке результатов наблюдений функцию нормального распределения в настоящее время уже не вычисляют по приведенным формулам, а находят с помощью специальных таблиц или компьютерных программ. Лучшие на русском языке «Таблицы математической статистики» составлены членами-корреспондентами АН СССР Л.Н. Большевым и Н.В.Смирновым [8].

Вид плотности стандартного нормального распределения  вытекает из математической теории, которую не имеем возможности здесь рассматривать, равно как и доказательство ЦПТ.

Для иллюстрации приводим небольшие таблицы функции распределения Ф(х) (табл.2) и ее квантилей (табл.3). Функция Ф(х) симметрична относительно 0, что отражается в табл.2-3.

Если случайная величина Х имеет функцию распределения Ф(х), то М(Х) = 0, D(X) = 1. Это утверждение доказывается в теории вероятностей, исходя из вида плотности вероятностей . Оно согласуется с аналогичным утверждением для характеристик приведенной случайной величины U_n, что вполне естественно, поскольку ЦПТ утверждает, что при безграничном возрастании числа слагаемых функция распределения U_n стремится к функции стандартного нормального распределения Ф(х), причем этот предельный переход справедлив для любого числа х.

Таблица 2.

Функция стандартного нормального распределения.

х	Ф(х)	х	Ф(х)	х	Ф(х)
-5,0	0,00000029	-1,0	0,158655	2,0	0,9772499
-4,0	0,00003167	-0,5	0,308538	2,5	0,99379033
-3,0	0,00134990	0,0	0,500000	3,0	0,99865010
-2,5	0,00620967	0,5	0,691462	4,0	0,99996833
-2,0	0,0227501	1,0	0,841345	5,0	0,99999971
-1,5	0,0668072	1,5	0,9331928

Таблица 3.

Квантили стандартного нормального распределения.

р	Квантиль порядка р	р	Квантиль порядка р
0,01	-2,326348	0,60	0,253347
0,025	-1,959964	0,70	0,524401
0,05	-1,644854	0,80	0,841621
0,10	-1,281552	0,90	1,281552
0,30	-0,524401	0,95	1,644854
0,40	-0,253347	0,975	1,959964
0,50	0,000000	0,99	2,326348