Математика случая: Вероятность и статистика – основные факты

Выборочные характеристики распределения

Кроме эмпирической функции распределения, для описания данных используют и другие статистические характеристики. В качестве выборочных средних величин постоянно используют выборочное среднее арифметическое, т.е. сумму значений рассматриваемой величины, полученных по результатам испытания выборки, деленную на ее объем:

где n – объем выборки, x_i – результат измерения (испытания) i-ого элемента выборки.

Другой вид выборочного среднего – выборочная медиана. Она определяется через порядковые статистики.
Порядковые статистики – это члены вариационного ряда, который получается, если элементы выборки x₁, x₂,…, x_nрасположить в порядке неубывания:

х(1)<x(2)<…<x(k)<…<x(n).

Пример 1. Для выборки x₁ = 1, x₂ = 7, x₃ = 4, x₄ = 2, x₅  = 8, x₆ = 0, x₇ =5, x₈ = 7 вариационный ряд имеет вид 0, 1, 2, 4, 5, 7, 7, 8, т.е. х(1) = 0 = x₆, х(2) = 1 = x₁, х(3) = 2 = x₄, х(4) = 4 = x₃, х(5) = 5 = x₇, х(6) = х(7) = 7 = x₂ = x₈, х(8) = 8 = x₅.

В вариационном ряду элемент x(k) называется k-той порядковой статистикой. Порядковые статистики и функции от них широко используются в вероятностно-статистических методах принятия решений, в эконометрике и в других прикладных областях [2].

Выборочная медиана  - результат наблюдения, занимающий центральное место в вариационном ряду, построенном по выборке с нечетным числом элементов, или полусумма двух результатов наблюдений, занимающих два центральных места в вариационном ряду, построенном по выборке с четным числом элементов. Таким образом, если объем выборки n – нечетное число, n = 2k+1, то медиана  = x(k+1), если же n – четное число, n = 2k, то медиана  = [x(k) + x(k+1)]/2, где x(k) и x(k+1) – порядковые статистики.

В качестве выборочных показателей рассеивания результатов наблюдений чаще всего используют выборочную дисперсию, выборочное среднее квадратическое отклонение и размах выборки.

Согласно [8] выборочная дисперсия s² – это сумма квадратов отклонений выборочных результатов наблюдений от их среднего арифметического, деленная на объем выборки: 

Выборочное среднее квадратическое отклонение s – неотрицательный квадратный корень из дисперсии, т.е.

В некоторых литературных источниках выборочной дисперсией называют другую величину:

Она отличается от s² постоянным множителем:

Соответственно выборочным средним квадратическим отклонением в этих литературных источниках называют величину  Тогда, очевидно,

Различие в определениях приводит к различию в алгоритмах расчетов, правилах принятия решений и соответствующих таблицах. Поэтому при использовании тех или иных нормативно-технических и инструктивно-методических материалов, программных продуктов, таблиц необходимо обращать внимание на способ определения выборочных характеристик.

Выбор , а не s², объясняется тем, что

где Х – случайная величина, имеющая такое же распределение, как и результаты наблюдений. В терминах теории статистического оценивания это означает, что  - несмещенная оценка дисперсии (см. ниже). В то же время статистика s² не является несмещенной оценкой дисперсии результатов наблюдений, поскольку

Однако у s² есть другое свойство, оправдывающее использование этой статистики в качестве выборочного показателя рассеивания. Для известных результатов наблюдений x₁, x₂,…, x_n рассмотрим случайную величину У с распределением вероятностей

и Р(У = х) = 0 для всех прочих х. Это распределение вероятностей называется эмпирическим. Тогда функция распределения У – это эмпирическая функция распределения, построенная по результатам наблюдений x₁, x₂,…, x_n. Вычислим математическое ожидание и дисперсию случайной величины У:

Второе из этих равенств и является основанием для использования s² в качестве выборочного показателя рассеивания.

Отметим, что математические ожидания выборочных средних квадратических отклонений М(s) и М(s₀), вообще говоря, не равняются теоретическому среднему квадратическому отклонению σ. Например, если Х имеет нормальное распределение, объем выборки n = 3, то

Кроме перечисленных выше статистических характеристик, в качестве выборочного показателя рассеивания используют размах R – разность между n-й и первой порядковыми статистиками в выборке объема n, т.е. разность между наибольшим и наименьшим значениями в выборке: R = x(n) – x(1).

В ряде вероятностно-статистических методов применяют и иные показатели рассеивания. В частности, в методах статистического регулирования процессов используют средний размах – среднее арифметическое размахов, полученных в определенном количестве выборок одинакового объема. Популярно и межквартильное расстояние, т.е. расстояние между выборочными квартилями x([0,75n]) и x([0,25n]) порядка 0,75 и 0,25 соответственно, где [0,75n] – целая часть числа 0,75n, а [0,25n] –целая часть числа 0,25n.