Математика случая: Вероятность и статистика – основные факты

Квантили

При описании дифференциации доходов, при нахождении доверительных границ для параметров распределений случайных величин и во многих иных случаях применяется такое понятие, как «квантиль порядка р», где 0 < p < 1 (обозначается х_р). Квантиль порядка р – значение случайной величины, для которого функция распределения принимает значение р или имеет место «скачок» со значения меньше р до значения больше р (рис.2). Может случиться, что это условие выполняется для всех значений х, принадлежащих этому интервалу (т.е. функция распределения постоянна на этом интервале и равна р). Тогда каждое такое значение называется «квантилем порядка р». Для непрерывных функций распределения, как правило, существует единственный квантиль х_р порядка р (рис.2), причем

F(x_p) = p.   (2)

Рис.2. Определение квантиля х_р порядка р.

Пример 4. Найдем квантиль х_р порядка р для функции распределения F(x) из (1).

При 0 < p < 1 квантиль х_р находится из уравнения

,

т.е. х_р= a + p(b – a) = a(1- p) +bp. При p = 0 любое x < a является квантилем порядка p = 0. Квантилем порядка p = 1 является любое число x > b.

Для дискретных распределений, как правило, не существует х_р, удовлетворяющих уравнению (2). Точнее, если распределение случайной величины дается табл.1, где x₁ < x₂ < … < x_k, то равенство (2), рассматриваемое как уравнение относительно х_р, имеет решения только для k значений p, а именно,

p = p₁,

          p = p₁ + p₂,

          p = p₁ + p₂ + p₃,

…

p = p₁ + p₂ + … + p_m,   3 < m < k,

          …

          p = p₁ + p₂ + … + p_k.

Таблица 1.

Распределение дискретной случайной величины

Значения x случайной величины Х	х1	х2	…	хk
Вероятности P(X =x)	p1	p2	…	pk

Для перечисленных k значений вероятности p решение х_р уравнения (2) неединственно, а именно,

F(x) = p₁ + p₂ + … + p_m

для всех х таких, что x_m < x < x_m+1. Т.е. х_р – любое число из интервала (x_m; x_m+1]. Для всех остальных р из промежутка (0;1), не входящих в перечень (3), имеет место «скачок» со значения меньше р до значения больше р. А именно, если

p₁ + p₂ + … + p_m <p < p₁ + p₂ + … + p_m + p_m+1,

то х_р = x_m+1.

Рассмотренное свойство дискретных распределений создает значительные трудности при табулировании и использовании подобных распределений, поскольку невозможным оказывается точно выдержать типовые численные значения характеристик распределения. В частности, это так для критических значений и уровней значимости непараметрических статистических критериев (см. ниже), поскольку распределения статистик этих критериев дискретны.