Математика случая: Вероятность и статистика – основные факты

Доверительное оценивание для дискретных распределений

Для дискретных распределений, таких, как биномиальное, гипергеометрическое или распределение Пуассона (а также распределения статистики Колмогорова

и других непараметрических статистик), функции распределения имеют скачки. Поэтому для заданного заранее значения γ, например, γ= 0,95, нельзя указать доверительные границы, поскольку уравнения, с помощью которых вводятся доверительные границы, не имеют ни одного решения. Так, рассмотрим биномиальное распределение 

,

где Y – число осуществлений события, n – объем выборки. Для него нельзя указать статистику K(Y, n) такую, что

P{p < K(Y, n)} = γ,

поскольку K(Y, n) – функция от Y и может принимать не больше значений, чем принимает Y, т.е. n + 1, а для γ имеется бесконечно много возможных значений – столько, сколько точек на отрезке. Сказанная означает, что верхней доверительной границы в случае биномиального распределения не существует.

Для дискретных распределений приходится изменить определения доверительных границ. Покажем изменения на примере биномиального распределения. Так, в качестве верхней доверительной границы θ_В используют наименьшее K(Y, n) такое, что

P{p < K(Y, n)} > γ.

Аналогичным образом поступают для других доверительных границ и других распределений. Необходимо иметь в виду, что при небольших n и p истинная доверительная вероятность P{p < K(Y, n)} может существенно отличаться от номинальной γ, как это подробно продемонстрировано в работе [13]. Поэтому наряду с величинами типа K(Y, n) (т.е. доверительных границ) при разработке таблиц и компьютерных программ необходимо предусматривать возможность получения и величин типа P{p < K(Y, n)} (т.е. достигаемых доверительных вероятностей).