Математика случая: Вероятность и статистика – основные факты

Непараметрическое оценивание функции распределения

Второй пример непараметрического оценивания – оценивание функции распределения. По теореме Гливенко эмпирическая функция распределения F_n(x) является состоятельной оценкой функции распределения F(x). Если F(x) – непрерывная функция, то на основе теоремы Колмогорова доверительные границы для функции распределения F(x) задают в виде

(F(x))_Н = max , (F(x))_B = min ,

где k(γ,n) – квантиль порядка γ распределения статистики Колмогорова при объеме выборки n (напомним, что распределение этой статистики не зависит от F(x)).

Правила определения оценок и доверительных границ в параметрическом случае строятся на основе параметрического семейства распределений F(x;θ). При обработке реальных данных возникает вопрос – соответствуют ли эти данные принятой вероятностной модели? Т.е. статистической гипотезе о том, что результаты наблюдений имеют функцию распределения из семейства {F(x;θ), θΘ} при некотором θ = θ₀? Такие гипотезы называют гипотезами согласия, а критерии их проверки – критериями согласия.

Если истинное значение параметра θ = θ₀ известно, функция распределения F(x;θ₀) непрерывна, то для проверки гипотезы согласия часто применяют критерий Колмогорова, основанный на статистике

где F_n(x) – эмпирическая функция распределения.

Если истинное значение параметра θ₀ неизвестно, например, при проверке гипотезы о нормальности распределения результатов наблюдения (т.е. при проверке принадлежности этого распределения к семейству нормальных распределений), то иногда используют статистику

Она отличается от статистики Колмогорова D_n тем, что вместо истинного значения параметра θ₀ подставлена его оценка θ*.

Распределение статистики D_n(θ*) сильно отличается от распределения статистики D_n. В качестве примера рассмотрим проверку нормальности, когда θ = (m, σ²), а θ* = (, s²). Для этого случая квантили распределений статистик D_n и D_n(θ*) приведены в табл.1 (см., например, [15]). Таким образом, квантили отличаются примерно в 1,5 раза.

Таблица 1.

Квантили статистик D_n и D_n(θ*) при проверке нормальности

р	0,85	0,90	0,95	0,975	0,99
Квантили порядка р для Dn	1,138	1,224	1,358	1,480	1,626
Квантили порядка р для Dn(θ*)	0,775	0,819	0,895	0,955	1,035